Tema 1 - El cuerpo de los números reales

Introducción

Existen diversos enfoques para introducir los números reales:

1. Construcción progresiva: partiendo de los números naturales $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$, se construyen los números enteros $\mathbb{Z}$, luego los números racionales $\mathbb{Q}$, y finalmente los números irracionales como $\sqrt{2}$ o $\pi$. Los números reales $\mathbb{R}$ son la unión de racionales e irracionales.
2. Enfoque axiomático: en este curso se adoptará esta perspectiva, caracterizando $\mathbb{R}$ mediante axiomas agrupados en tres categorías:
   • Axiomas de cuerpo.
   • Axiomas de orden.
   • Axioma del supremo (completitud o continuidad).

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Axiomas de cuerpo

El conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ tiene dos operaciones internas: suma $+$ y producto $\cdot$, que cumplen las siguientes propiedades:

Propiedades de la suma $+$

1. Asociativa: $x + (y + z) = (x + y) + z, \forall x, y, z \in \mathbb{R}$.
2. Conmutativa: $x + y = y + x, \forall x, y \in \mathbb{R}$.
3. Elemento neutro: existe $0 \in \mathbb{R}$ tal que $x + 0 = x, \forall x \in \mathbb{R}$.
4. Elemento opuesto: para todo $x \in \mathbb{R}$ existe $-x \in \mathbb{R}$ tal que $x + (-x) = 0$.

Propiedades del producto $\cdot$

1. Asociativa: $x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z, \forall x, y, z \in \mathbb{R}$.
2. Conmutativa: $x \cdot y = y \cdot x, \forall x, y \in \mathbb{R}$.
3. Elemento unidad: existe $1 \in \mathbb{R}, 1 \neq 0$, tal que $x \cdot 1 = x, \forall x \in \mathbb{R}$.
4. Elemento inverso: para todo $x \neq 0$, existe $x^{-1} \in \mathbb{R}$ tal que $x \cdot x^{-1} = 1$.
5. Distributiva: $x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z, \forall x, y, z \in \mathbb{R}$.

Un conjunto que cumple estas propiedades tiene estructura de cuerpo conmutativo.

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Axiomas de orden

El conjunto $\mathbb{R}$ está ordenado por una relación $\leq$, que cumple:

1. Reflexiva: $x \leq x, \forall x \in \mathbb{R}$.
2. Antisimétrica: si $x \leq y$ y $y \leq x$, entonces $x = y$.
3. Transitiva: si $x \leq y$ y $y \leq z$, entonces $x \leq z$.
4. Totalidad: $x \leq y$ o $y \leq x, \forall x, y \in \mathbb{R}$.
5. Compatibilidad con la suma: si $x \leq y$, entonces $x + z \leq y + z, \forall z \in \mathbb{R}$.
6. Compatibilidad con el producto: si $x \leq y$ y $z \geq 0$, entonces $x \cdot z \leq y \cdot z$.

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La recta real

Los números reales se representan geométricamente como puntos en una recta:

• Si $x < y$, el punto $x$ está a la izquierda de $y$.
• Los números positivos están a la derecha del 0; los negativos, a la izquierda.

Intervalos en $\mathbb{R}$

Tipo	Notación	Definición
Abierto	$(a, b)$	$\{ x \in \mathbb{R} : a < x < b \}$
Cerrado	$[a, b]$	$\{ x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b \}$
Semi-abierto	$(a, b]$	$\{ x \in \mathbb{R} : a < x \leq b \}$
Semi-cerrado	$[a, b)$	$\{ x \in \mathbb{R} : a \leq x < b \}$

Intervalos infinitos también son posibles, como $(-\infty, b]$ o $[a, +\infty)$.

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Axioma del supremo

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente en $\mathbb{R}$ tiene un supremo $\sup$.

$$\alpha = \sup(A) \iff \alpha \geq x, \forall x \in A \text{ y } \forall \varepsilon > 0, \exists x \in A : \alpha - \varepsilon < x \leq \alpha$$

En resumen esto signfica que $\alpha$ es el menor de los límites superiores de $A$.

Axioma del ínfimo

Análogo al supremo, pero para conjuntos acotados inferiormente.

$$\beta = \inf(A) \iff \beta \leq x, \forall x \in A \text{ y } \forall \varepsilon > 0, \exists x \in A : \beta \leq x < \beta + \varepsilon$$

En resumen esto signfica que $\beta$ es el mayor de los límites inferiores de $A$.

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Valor absoluto

El valor absoluto de $x \in \mathbb{R}$ está definido como:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{si } x \geq 0 \\\\ -x, & \text{si } x < 0. \end{cases}$$

Propiedades:

1. $|x| \geq 0$.
2. $|x| = 0 \iff x = 0$.
3. $|x| = |-x|$.
4. $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$.
5. $|x + y| \leq |x| + |y|$ (Desigualdad triangular).