Tema 4 - Funciones Reales de Variable Real, Límites y Continuidad

Funciones Reales de Variable Real

Introducción

Una función, denotada como $f: A \to B$ , se compone de un dominio ( $A = Dom(f)$ ) y un rango ( $B = Rang(f)$ ), con una regla que relaciona cada elemento $x \in A$ con un único elemento

$y \in B$ . Esta correspondencia se representa como $y = f(x)$ o $x \to f(x)$ . La imagen de $f$ , $Im(f) = f(A)$ , incluye todos los valores que $f(x)$ puede tomar.

Cuando tanto $A$ como $B$ son subconjuntos de los números reales ( $A, B \subset R$ ), $f$ se conoce como una función real de una variable real.

Tipos de Funciones

Las funciones reales de variable real se pueden clasificar según diferentes propiedades, incluyendo:

Inyectiva: Cada elemento del rango se relaciona con un único elemento del dominio.
Sobreyectiva: Todos los elementos del rango tienen al menos un elemento del dominio que se relaciona con ellos.
Biyectiva: La función es tanto inyectiva como sobreyectiva.
Creciente/Decreciente: El valor de la función aumenta/disminuye a medida que aumenta el valor de la variable independiente.
Estrictamente Creciente/Decreciente: La función es creciente/decreciente y, además, no hay dos valores distintos de la variable independiente que produzcan el mismo valor de la función (es decir, es inyectiva).
Monótona: La función es creciente o decreciente.
Estrictamente Monótona: La función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Acotada Superior/Inferiormente: La función tiene un valor máximo/mínimo.
Acotada: La función está acotada superior e inferiormente.

Operaciones con Funciones

Es posible realizar diferentes operaciones con funciones, como la composición ( $g \circ f$ ) y la inversión ( $f^{-1}$ ).

La composición de funciones se define como $(g \circ f)(x) := g(f(x))$ , donde:

$f: A \to B$ y $g: C \to D$ , siendo $B \subset C$ (B un subconjunto de C).

Límites de una Función

El límite de una función $f(x)$ cuando $x$ tiende a un punto $x_0$ , denotado como $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ , describe el comportamiento de la función cerca de ese punto. Se dice que el límite existe si $f(x)$ se acerca a un valor $l$ a medida que $x$ se acerca a $x_0$ , sin importar el valor de $f(x_0)$ .

Los límites laterales, por la izquierda ( $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ ) y por la derecha ( $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ ), describen el comportamiento de la función cuando $x$ se acerca a $x_0$ por valores menores o mayores, respectivamente. El límite de una función existe si y solo si los límites laterales existen y son iguales.

Propiedades de los Límites

Existen varias propiedades fundamentales que simplifican el cálculo de límites. Entre las más importantes se encuentran:

Límites de sumas, restas, productos y cocientes: El límite de una suma, resta, producto o cociente de funciones es igual a la suma, resta, producto o cociente de los límites de cada una de las funciones, respectivamente, siempre que los límites individuales existan.
- Para el caso de un cociente, es necesario que el límite del denominador no sea cero.

Asíntotas de Funciones

Las asíntotas son rectas que se aproximan a la gráfica de una función en el infinito. Existen tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.

Asíntotas Verticales

Una recta $x = x_0$ es una asíntota vertical de la función $f$ si el límite de la función en ese punto es infinito ( $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty$ o $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty$ ).

Asíntotas Horizontales

Una recta $y = L$ es una asíntota horizontal de la función $f$ si el límite de la función cuando $x$ tiende a $+\infty$ o $-\infty$ es igual a $L$ ( $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ o $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ ).

Asíntotas Oblicuas

Una recta $y = mx + n$ ( $m \neq 0$ ) es una asíntota oblicua de la función $f$ si el límite de la diferencia entre la función y la recta es cero cuando $x$ tiende a $+\infty$ o $-\infty$ ( $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx - n) = 0$ ).

Fórmulas de la A.O.

$y = mx + n$
$m = \lim_{{x \to \pm \infty}} \frac{{f(x)}}{{x}}$
$n = \lim_{{x \to \pm \infty}} (f(x) - mx)$

Tabla de tipos de asíntotas

Tipo de Asíntota	Definición
A.Vertical	$\lim_{{x \to k}} f(x) = \infty$
A.Horizontal	$\lim_{{x \to \infty}} f(x) = k$
A.Oblícua	Si $f(x)$ tiene A.H., NO tiene A.O.

Continuidad de Funciones

Una función $f$ es continua en un punto $x_0$ si el límite de la función en ese punto es igual al valor de la función en ese punto ( $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ ). En términos simples, una función continua se puede dibujar “sin levantar el lápiz del papel”.

Propiedades de las Funciones Continuas

Las funciones continuas tienen varias propiedades importantes:

Suma, resta, producto y cociente: La suma, resta, producto y cociente de funciones continuas también son funciones continuas, siempre que en el caso del cociente el denominador no sea cero en el punto de interés.
Composición: La composición de funciones continuas es continua.
Intercambio con el límite: Si $f$ es continua, se puede intercambiar la función con el límite: $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(\lim_{n \to \infty} x_n)$ .

Tipos de Discontinuidades

Si una función no es continua en un punto, se dice que tiene una discontinuidad en ese punto. Existen diferentes tipos de discontinuidades:

Evitable: El límite de la función existe en el punto de discontinuidad, pero es diferente del valor de la función en ese punto. Se puede “evitar” la discontinuidad redefiniendo la función en ese punto para que coincida con el límite.
Esencial de primera especie:
- De salto: Los límites laterales existen pero son diferentes.
- De tipo infinito: El límite de la función en el punto de discontinuidad es infinito.
Esencial de segunda especie: Al menos uno de los límites laterales no existe.

Teoremas Importantes sobre Funciones Continuas

Dos teoremas fundamentales sobre funciones continuas son el Teorema de Bolzano y el Teorema de Weierstrass.

Teorema de Bolzano: Si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y los valores de la función en los extremos del intervalo tienen signos opuestos ( $f(a) \cdot f(b) < 0$ ), entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$ .
Teorema de Weierstrass: Si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ , entonces $f$ está acotada y alcanza sus valores máximo y mínimo en algún punto del intervalo.