Tema 6 - Integración de funciones reales de variable real

El cálculo integral es fundamental para determinar áreas bajo curvas, volúmenes de sólidos de revolución y resolver problemas en física, ingeniería y economía. Aunque puede parecer un tema independiente, el Teorema Fundamental del Cálculo revela su conexión con la derivación, mostrando que ambas operaciones son inversas entre sí.

Para una función continua $f$ en un intervalo $[a, b]$, la integral definida se denota como $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ y representa, si $f$ es positiva, el área bajo la curva de $f$ entre $x=a$ y $x=b$.

Propiedades de la Integral Definida

• Aditividad: La integral sobre un intervalo $[a, b]$ se puede descomponer:

  $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx ,\ donde \ a < c < b$$

• Linealidad:

  • La integral de una suma es la suma de las integrales.
  • La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función.

• Monotonía: Si $f(x) \leq g(x)$ para todo $x$ en $[a, b]$, entonces $\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} g(x) \, dx$.

Teorema Fundamental del Cálculo

Este teorema establece la relación inversa entre derivación e integración.

1. Si $f$ es continua en $[a, b]$, la función $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$ es derivable en $[a, b]$ y $F'(x) = f(x)$. Es decir, $F$ es una primitiva de $f$.

2. La Regla de Barrow permite calcular la integral definida de $f$ conociendo una primitiva $G$ de $f$:
   $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = G(b) - G(a)$.

Primitivas e Integrales Inmediatas

Algunas integrales inmediatas útiles son:

• $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \neq -1$.
• $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$.
• $\int e^x \, dx = e^x + C$.
• $\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$.
• $\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$.

Técnicas de Integración

Para funciones más complejas, se utilizan técnicas como:

• Integración por partes:
  Basada en la regla de la derivada del producto, se expresa como:
  $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ donde $u$ y $v$ son funciones derivables.

• Integración por cambio de variable:
  Basada en la regla de la cadena, permite simplificar integrales mediante sustitución de variables.

Integrales Impropias

Las integrales impropias se definen como límites de integrales definidas. Se clasifican en:

• Integrales impropias de primera especie: El intervalo de integración es no acotado.
• Integrales impropias de segunda especie: La función a integrar no está acotada en el intervalo de integración.
• Integrales impropias de tercera especie: Combinan ambas características.

Aplicaciones de la Integral Definida

• Área entre dos curvas:
  Para calcular el área entre las curvas $y = f(x)$ e $y = g(x)$ en $[a, b]$, se usa la fórmula:

  $$A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$$

• Longitud de un arco de curva:
  La longitud de un arco de la curva $y = f(x)$ entre $x = a$ y $x = b$, donde $f$ es derivable, se calcula como:

  $$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$$

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