Teorema del Bionomio

Teorema del Binomio

El teorema del binomio proporciona una fórmula para expandir una potencia de un binomio, es decir, una expresión de la forma $(x + y)^n$. Este teorema es fundamental en combinatoria y álgebra, ya que nos permite calcular los coeficientes de cada término en la expansión de manera sistemática.

La fórmula general del teorema del binomio es:

$$(x + y)^n = \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} x^{n-j}y^j$$

Donde:

• $(x + y)^n$ es el binomio elevado a la potencia $n$.
• $n$ es un entero no negativo.
• $\sum_{j=0}^{n}$ indica la suma de términos desde $j = 0$ hasta $j = n$.
• $\binom{n}{j}$ es el coeficiente binomial, que se calcula como $\frac{n!}{(n - j)! \cdot j!}$, también denotado como $C_{n,j}$. Este coeficiente representa el número de combinaciones sin repetición de $n$ elementos tomados de $j$ en $j$.
• $x^{n-j}$ es la variable $x$ elevada a la potencia $n - j$.
• $y^j$ es la variable $y$ elevada a la potencia $j$.

En palabras más sencillas, el teorema del binomio nos dice que al expandir $(x + y)^n$, obtendremos una suma de términos donde:

• Cada término tiene la forma $\binom{n}{j} x^{n-j}y^j$.
• El exponente de $x$ disminuye de $n$ a $0$, mientras que el exponente de $y$ aumenta de $0$ a $n$.
• Los coeficientes de cada término son los números combinatorios $\binom{n}{j}$, que podemos calcular mediante la fórmula o el triángulo de Pascal.

Ejemplo

Vamos a ver un ejemplo sencillo para ilustrar el teorema del binomio. Supongamos que queremos expandir $(x + y)^3$. Utilizando el teorema del binomio:

$$(x + y)^3 = \sum_{j=0}^{3} \binom{3}{j} x^{3-j}y^j$$

Esto significa que la expansión será:

$$(x + y)^3 = \binom{3}{0} x^3y^0 + \binom{3}{1} x^2y^1 + \binom{3}{2} x^1y^2 + \binom{3}{3} x^0y^3$$

Calculando los coeficientes binomiales:

• $\binom{3}{0} = \frac{3!}{3! \cdot 0!} = 1$
• $\binom{3}{1} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$
• $\binom{3}{2} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = 3$
• $\binom{3}{3} = \frac{3!}{0! \cdot 3!} = 1$

Sustituyendo los coeficientes:

$$(x + y)^3 = 1 \cdot x^3y^0 + 3 \cdot x^2y^1 + 3 \cdot x^1y^2 + 1 \cdot x^0y^3$$

Simplificando:

$$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$$

Relación con el Triángulo de Pascal

Los coeficientes binomiales $\binom{n}{j}$ se pueden obtener del triángulo de Pascal. Cada número en el triángulo es la suma de los dos números directamente encima de él. La fila $n$ del triángulo de Pascal proporciona los coeficientes para la expansión de $(x + y)^n$. Por ejemplo, la fila 3 del triángulo de Pascal es 1, 3, 3, 1, que corresponde a los coeficientes de $(x + y)^3$.

Suma de Coeficientes Binomiales

Una consecuencia importante del teorema del binomio es que la suma de todos los coeficientes binomiales para un valor dado de $n$ es igual a $2^n$. Esto se puede deducir haciendo $x = 1$ e $y = 1$ en la fórmula del teorema del binomio:

$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$

Aplicaciones

El teorema del binomio tiene muchas aplicaciones en diversas áreas, incluyendo:

• Combinatoria: Para contar el número de subconjuntos de un conjunto dado.
• Probabilidad: Para calcular probabilidades en distribuciones binomiales.
• Cálculo: En la expansión de funciones y en la derivación e integración de funciones polinómicas.
• Estadística: En la distribución binomial y en la estimación de errores.